チェビシェフ多項式の存在 coskθはcosθの多項式として表せる.

とくに,cosθ=xとおくとxの多項式T_k(x)を用いて coskθ=T_k(x)と表わせ,つぎの漸化式を満たす.
T_k(x)=x(k=1)
2x²−1(k=2)
2xT_k−1(x)−T_k−2(x)(k≧3)

例.cos3θ=4cos³−3cosθより, T₃(x)=4x³−3x

[ 証明 ]数学的帰納法で示す.

k=1のときは明らかに成立. k=2のとき,cos2θ=2cos²θ−1 より成立.

k=m−2,m−1での成立を仮定する. （すなわち,cos(m−2)θとcos(m−1)θはcosθの多項式にできる.）

このとき,
cosmθ+cos(m−2)θ=2cos(m−1)θcosθ<br>∴cosmθ=2cos(m−1)θcosθ−cos(m−2)θ
となるので,cosmθもcosθの多項式.

以上より,すべての自然数kで補題が成立する.■

チェビシェフ多項式の性質

1. T_k(x)の次数はkで,最高次の係数は2^k−1である.

2. T_2k−1の定数項は0,T_2kの定数項は(−1)^kである.

(i)(ii)の両方を示す.数学的帰納法を用いる.

k=1,2のとき
T₁(x)=x
T₂(x)=2x²−1
より,それぞれ(i)(ii)を満たす.

k=m−2,m−1で(i)(ii)の成立を仮定する.
T_m(x)=2xT_m−1(x)−T_m−2(x)
T_m−1(x)はm−1次式, T_m−2(x)はm−2次式なので T_m(x)はm次式.

T_m−1(x)の最高次の係数は2^m−2ゆえ T_m(x)の最高次の係数は2^m−1となる.

また,T_m(x)の定数項は T_m−2(x)の定数項を(−1)倍したもの. したがって(ii)が得られる.■