方程式の有理数解 PDFファイルはこちら 3次方程式の有理数解 定理 ax3?+?bx2?+?cx?+?d?=?0?(a,?b,?c,?dは整数,?a?≠?0) が有理数解q/pを持つ ⇒pはaの約数かつ,?qはdの約数 (証明) q/p(p,?qは互いに素)は ax3?+?bx2?+?cx?+?d?=?0の解だから a(q/p)3?+?b(q/p)2?+?c(q/p)?+?d?=?0両辺にp3を掛けてaq3?+?bpq2?+?cp2q?+?dp3?=?0 (*)を以下のように変形する. ?−?aq3?=?p(bq2?+?cpq?+?dp2)?−?dp3?=?q(aq2?+?bpq?+?cp2) p,?qは互いに素だから, より?−?aq3はpの倍数 ?⇒?aはpの倍数 ?⇒?pはaの約数 より?−?dp3はqの倍数 ?⇒?dはqの倍数 ?⇒?qはdの約数 n次方程式の有理数解 定理 anxｎ?+?an?−?1xn?−?1?+???+?a1x?+?a0?=?0?(各akは整数,?a0?≠?0) が有理数解q/pを持つ ⇒pはanの約数かつ,?qはa0の約数 (証明) q/p(p,?qは互いに素)は ax3?+?bx2?+?cx?+?d?=?0の解だから an(q/p)n?+?an?−?1(q/p)n?−?1?+???+?a1(q/p)?+?a0?=?0両辺にpnを掛けてanqn?+?an?−?1pqn?−?1?+???+?a1pn?−?1q?+?a0pn?=?0 (*)を以下のように変形する. ?−?anqn?=?p(an?−?1qn?−?1?+???+?a1pn?−?2q?+?a0pn?−?1)?−?a0pn?=?q(anqn?−?1?+?an?−?1pqn?−?2?+???+?a1pn?−?1) p,?qは互いに素だから, より?−?anqnはpの倍数 ?⇒?anはpの倍数 ?⇒?pはanの約数 より?−?a0pnはqの倍数 ?⇒?a0はqの倍数 ?⇒?qはa0の約数 PDFファイルはこちら
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